히포크라테스와 플라톤의 수학 이야기

고대 그리스의 학자 히포크라테스는 작도가 불가능 한 문제에 도전했다. 초승달을 작도해야 하는 문제를 가지고 작도를 하게되었다. 눈금이 없어도 선을 곧게는 그을 수 있은 원의 호를 그리고 나머지 안쪽 원을 그리는 것은 쉽지 않았다. 작도의 시작은 나일강 근처의 잦은 범람으로 부터 시작되었는데 상류의 비옥한 토양이 하류로 계속 떠내려와 경계를 지어놓은 농경지의 경계선이 무너지기 일쑤였다. 그래서 밧줄과 말뚝을 이용해서 측량을 하기 시작했고 범람으로 인해 경계가 없어져도 승장사(측량 하는 사람)가 측량해주어 경계를 다시 지을 수 있었다.

 

태극기를 작도 해본 적이 있을까?

자와 컴퍼스를 이용해서 정확한 태극기를 작도해보면 가로와 세로의 비가 3:2라는 것을 알 수 있다. 태극 무늬는 태극기의 한 가운데이 원을 먼저 그리고 이를 그리기 위해서는 먼저 바탕에 교차하는 대각선을 먼저 그어야 한다.  대각선의 교차하는 점에 컴퍼스를 중심으로 하여 원을 그린다. 원의 지름은 바탕의 세로의 절반이다.

태극기의 가장자리쪽에 검, 곤, 감, 이 라는 네개의 괘가 있다. 이 괘는 태극 무늬로부터 지름의 0.25만큼 띄우고 지름의 절반의 길이로 그리고 괘는 두 대각선과 각각 직각을 이루도록 그리면된다. 

 

 히포크라테스의 평생은 작도 불능한 문제에 대해 연구하는데 썼다. 히포크라테스는 기원전 5세기의 사람이고 에게해 키오스 섬에서 태어났다. 히포크라테스는 수학과는 거리가 먼 상인이였다. 히포크라테스는 기하학에 관심을 가지면서 처음으로 공리와 공준을 만들어 논리적인 방법으로 기하학 원론이라는 책을 저술했다. 유클리드의 기하학 원론 보다 100년이나 먼저 말이다. 그의 가장 큰 업적 중 하나는 초승달 문제의 해답을 발견한 것이라고 할 수 있다. 당시에는 눈금 없는 자와 컴퍼스 만으로 도형을 연구하고 작도하였는데 어떤 방법으로도 작도를 할 수 없는 몇개의 문제가 있었다. 그중의 하나가 어떤 원과 면적이 같은 정사각형을 그려내는 문제였다.이 문제를 풀어내려고 히포크라테스는 많은 수학자들과 함께 연구에 연구를 거듭했지만 이 문제 자체가 자와 컴퍼스만 가지고는 그릴 수가 없다는 것이 19세기가 되고 나서야 증명이 되었다.  그럼에도 이문제를 해결하려고 노력했던 히포크라테스를 통해 초승달 모양의 도형의 넓이를 삼각형의 넓이로 변환을 시킬 수 있게 되었다. 이러한 발견은 직선으로 둘러싸여 있는 도형의 넓이와 같은 곡선도형이 있다는 것이 널리 알려지게 되었다. 수학자 히포크라테스와 같은 시대의 사람인 의사 히포크라테스가 있는데 의사 히포크라테스도 의학의 아버지라 불릴 정도로 그 분야에서 최고로 꼽하는 사람이다. 

   

 오래전에 작도를 할때는 눈금이 없는 자와 컴퍼스만을 가지고 했었다. 그러나 이제는 완전히 새로운 도구들이 많이 생겨났다. 직선이 아니라 곡선을 스릴수 있는 곡선자도 있다. 또 T자는 알파벳 T를 꼭 닮았다. 제도판의 왼쪽에 있는 T의 머릿부분을 맞추고 위 아래로 이동하여 평행인 수평선을 쉽게 그릴 수가 있다. 그래서 제도기 하나로 간편히 작도가 가능하다. 제도기는 T자, 삼각자, 눈금자, 분도기 등의 기능을 두루 갖추고 있다. 자 2개가 가로와 세로 직각으로 위치하고 있어서 제도판 위에서 자유롭게 평행을 이동하면서 그릴수 있고 손잡이 부분에는 각도 눈금이 있는 각도기가 붙어 있어서 어떤 각도든 간편하게 직선을 그릴 수가 있다. 

 

플라톤 정다면체를 정의하였다.

 

플라톤은 고대 그리스의 철학자이고 형이상학의 수립자이고 기하학을 중시한 철학자로 꼽힌다. 플라톤이 세운 아카데미아의 입구에는 기하학을 모르는 사람은 이곳에 들어올 자격이 없다. 라고 써놓고 기하학을 도형을 다루는 기본적 학문으로 여겼다. 기하학은 도형을 다루는 학문으로 고대 이집트에서 토지를 측량할 때 사용한 수학의 한 분야이다. 플라톤은 기하학을 통해서 정의내린 도형의 형상을 절대 진리라고 믿었고 우리가 보고있는 도형들은 형상을 본 뜬 것 뿐이라고 말했다. 그리고 우주를 만들때 철처한 수학적 계산으로 만들어 졌다고 여겨 신이 끊임없이 일하는 기하학자라고 표현했다. 그리고 귀한 발견인 정다면체는 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각 형으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형을 말하는데 정다면페는 단 5가지 뿐이라는 것을 알았다. 수많은 다면체 가운데서 정 다면체는 오직 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 뿐이다. 점, 선, 면 으로 이루어진 입체 이 4개를 기초도형이라고 하는데 기초도형을 여러가지 규칙을 가지고 만든것이 우리가 보는 도형이다. 평면도형이란, 평면위에 있는 도형을 이야기하는데 원, 타원, 사다리꼴, 마름모, 그리고 삼각형, 사각형, 같은 도형이 여기에 해당이 된다. 입체 도형은 공간안에 있는 도형을 말하는데, 구, 원기둥, 원뿔, 각기둥, 각뿔, 다면체들이 여기에 속한다. 

 플라톤은 우주의 원리를 수학으로 설명하고 해석했다. 불, 흙, 물, 공기를 도형에 맞추어 설명했다. 플라톤은 수학만큼 철하게도 많이 알려진 인물이다. 그리스 귀족 출신인 그는 정치에 뜻을 춤었지만 스스인 소크라테스가 사형되는 것을 보고 정치보다는 인간의 본질을 알고자 철학에 대해 탐구하기 시작했다. 수학과 철학에 능통한 플라톤은 우주의 원리를 설명하기 위해 수학의 개념을 같이 이야기 했다. 플라톤은 물, 불, 공기, 흙 이 네가지 원소가 완벽한 수학적 질서로 균형을 이루고 있다고 주장했다. 물, 불, 공기, 흙은 완벽한 입체인 정다면체로 되어있다고 생각했고 각 다면체가 보이는 특징에 따라 정사면체는 물, 정 육면체는 불, 정 팔면체는 공기, 정이십면체는 물에 대응시켰다. 

 

플라톤은 정다면체를 새로이 정의하고 정 다면체가 될 수 있는 조건을 밝혀내는 등 기하학 분야에서 많은 업적을 세우기도 했다. 

 

 

글을 쓸 수록 수학자들은 철학과도 연관이 있다는 사실을 알게된다. 우주의 원리, 정다면체로 해석한 플라톤을 책에서 나마 만날 수 있어 즐겁다. 다음 시간에도 수학,과학에 관한 이야기로 글 쓰겠습니다.